yandex.metrica
Без рубрики

Математические экспериментально-статистические модели технологических процессов

Детерминированные модели

Детерминированные модели — это грубые модели, они относительно просты и экономичны, но часто недостаточно точны для окончательных оценок и принятия ответственных решений.

Простота достигается за счет того, что в них игнорируются или моделируются весьма примитивно многие свойства, присущие реальным объектам (например, задержка и нагрузочная способность логических элементов). В них не учитываются и случайные факторы, такие как технологический разброс параметров (например, задержек), их температурные и временные изменения. Поэтому такие модели и называют грубыми, неточными.

Названные модели используются для получения предварительных оценок на этапе поискового проектирования, когда необходимо сузить число возможных альтернативных решений проекта. Детерминированные модели позволяют существенно экономить инженерное и машинное время, но для окончательных оценок они недостаточно хороши.
Модели детерминированного вида составляются на базе фундаментальных законов. По сути дела математические модели детерминированного вида представляют собой балансовые уравнения, которые составляются для каждого элемента, который используется в технологическом процессе. Поскольку все металлургические процессы зависят от температур и как правило сопровождаются или поглощением тепла (плавление и нагрев) или выделением тепла (сжигание), то для управления процессами при составлении модели учитываются не только материальный баланс, но и тепловой баланс. Эти модели представляют собой расчеты шихты для металлургических процессов, в которой необходимо по заданным исходным параметрам получить конечный продукт с учетом тепловых процессов.

Детерминированные модели хотя и обладают универсальностью, но очень сложны при реализации и имеют низкую точность из-за различных допущений.

Детерминированные модели составляются на основании использования фундаментальных физических законов:

  • закон сохранения энергии;
  • закон сохранения количества вещества.

Поэтому эти модели представляют собой совокупность балансных уравнений, которые определяют переход определенных компонентов из одного состояния в другое.

Для большинства технологических процессов в металлургии, которые сопровождаются выделением и поглощением тепла, детерминированные модели строятся на основе материальных и тепловых балансов.

По сути дела, речь идет о составлении уравнения вида:

формула

где Gi и Ci – масса и концентрация i-го компонента в исходном продукте;
Gj и Cj – масса и концентрация j-го компонента в конечном продукте.

Установлено, что при составлении балансных уравнений число неизвестных факторов, как правило, больше числа известных факторов. Поэтому в детерминированных моделях вводятся дополнительные уравнения, которые построены на эмпирических зависимостях или уравнения, построенные на законах термодинамики для условия равновесия систем.

Достоинством детерминированных моделей является их универсальность, то есть они позволяют определить ход однотипных процессов в среднем.

К недостаткам этих моделей необходимо отнести их неспособность точно отразить специфические условия каждого отдельного процесса.

Экспериментально-статистические модели

Для того чтобы определить индивидуальные свойства управляемых процессов используются экспериментально-статистические модели. В этих моделях: исследуемый реальный процесс представляется как объект «черный ящик» с неизвестными зависимостями входных Хвх и выходных Yвых параметров объекта управления.

формула

Здесь Xiвх — входные параметры процесса; Yiвых— выходные параметры процесса;
f – возмущающее воздействие.

схема

Коэффициенты таких уравнений рассчитываются по экспериментальным данным, которые получаются путем фиксирования текущих значений входных и выходных параметров и затем с использованием методов математической статистики рассчитываются коэффициенты ai и bi для каждого выходного параметра.

В результате получается уравнение, которое называют теоретической линией регрессии, определяющее статистическую (вероятностную) связь между входными и выходными параметрами.

Существует 2 вида зависимостей. Одна из них это функциональная зависимость, когда каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции y = f(x).

Второй вид называется статистической или вероятностной зависимостью, когда одному значению аргумента соответствует в общем случае целый ряд распределения значений функции  ̅y = f (xi).

Целью обработки экспериментального исходного материала является изучение и определение функциональной связи между аргументом и функцией  ̅y = f (x).

Для построения экспериментально-статистической модели по опытным данным наиболее широкое распространение получил метод наименьших квадратов. Суть этого метода: необходимо найти такую функцию  ̅y = f (xi), которая наиболее точно отражала бы состояние (приближение) к каждой экспериментальной точке.

Размерности функций  ̅y = f (xi), которыми можно выразить теоретическую линию регрессии разнообразны, но в инженерной практике предпочтение отдается полиномам целых степеней, т.е. линейную зависимость можно выразить так:  ̅y(x) = a0 + a1x . Нелинейную зависимость можно выразить полиномом второй степени:  ̅y(x) = a0 + a1x +a2x2 . Если зависимость явно не симметричная, то можно использовать полиномы третей и четвертой степеней.

Чтобы получить адекватную, т.е. соответствующую реальным условиям модель, требуется оценить степень отклонения экспериментальных данных от теоретической линии регрессии.

Показателем тесноты связи является коэффициент корреляции, который оценивает степень приближения к линейным зависимостям и корреляционное отношение к нелинейным зависимостям. При r=1  ̅y=y – статистическая зависимость приближается к функциональной.

При r=0.4 – модель использовать нельзя, поскольку она обычно не адекватна реальной зависимости из-за действия других факторов.

Экспериментально-статистические лишены универсальности, т.е. они обеспечивают возможность интерполяции экспериментальных данных, они справедливы внутри интервала, в котором изменялись экспериментальные значения и категорически неприемлемы вне пределов интерполяционного пространства, т.е. лишены свойства экстраполяции. Чисто экспериментально статистические модели, обладая свойством индивидуальности, не способны адаптироваться к изменяющимся условиям и требуют постоянной корректировки по мере старения технологического агрегата.

Эмпирические модели

Каждый рассмотренный тип модели имеет свои достоинства и недостатки, но на практике существует комбинированный из двух типов эмпирический способ составления эмпирической модели. Основой эмпирических моделей является формализация (математическое описание) действия высококвалифицированного технолога (эксперта) по управлению технологическим процессом.

В основу данного типа модели положен принцип определения поправок на каждое управляющее воздействие (метод проб и ошибок).

Технолог в течение определенного, достаточно продолжительного этапа работы по управлению реальным процессом, и в результате общения с мастером вырабатывает свой алгоритм коррекции управляющих воздействий, которые приводят к решению поставленной задачи. Этот алгоритм по каждому управляющему воздействию сводится к определению результирующей поправки Δq :

формула

Где Xi(τ-1) и Xi(τ) — управляющие воздействия в прошедший и текущий моменты времени.

В дальнейшем развитии данного метода и разновидностью экспериментально-статистических моделей эмпирического и экспериментально-статистического типов является использование искусственных нейронных сетей и моделей с нечёткой логикой.